Multiple, diviseur, nombre premier
Rappel : a est un multiple de b s'il existe un entier k tel que a = k × b. Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
- Consolider le Jour 1 : multiples, diviseurs, nombres premiers, pair/impair, fractions.
- Savoir dans quel ensemble vit un nombre (ℕ ℤ 𝔻 ℚ ℝ) et lire un intervalle.
- Calculer avec les puissances (puissances de 10, notation scientifique, règles simples).
- Manipuler les racines carrées, les simplifier, et encadrer une racine — à la main puis en Python.
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1ʳᵉ heure — on consolide le Jour 1
60 minOn reprend les bases du Jour 1 directement dans le Livret Sésamath 2de que vous avez. Trois fiches, dans l'ordre :
Nombre pair et nombre impair
Rappel : un pair s'écrit 2k, un impair 2k + 1 (k entier). L'écriture littérale du Jour 1, qui sert à démontrer.
Fractions irréductibles
Rappel : une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier (numérateur et dénominateur sans diviseur commun).
✅ Objectif de l'heure : refaire ces trois fiches au propre, se corriger, et repartir avec des bases sûres avant d'attaquer les nouveautés du jour.
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Situer un nombre — initiation
ensembles & intervallesLes ensembles de nombres
À retenir. On emboîte : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
- ℕ : entiers naturels (0, 1, 2, …) • ℤ : entiers relatifs (…, −2, −1, 0, 1, …)
- 𝔻 : décimaux (a/10ⁿ) • ℚ : rationnels (p/q) • ℝ : réels (dont √2, π)
📖 Dans le livret : fiche 1 « Ensembles de nombres » — fais les exercices 1 et 2 (cocher le bon ensemble, placer sur la droite).
A
Entier, décimal, ou réel ?
BasePour chaque nombre, dis s'il est un entier, un décimal (une virgule qui s'arrête), ou seulement un réel (avec √ ou π) : 7 ; −4 ; 0,5 ; √9 ; √2 ; π.
7 : entier · −4 : entier · 0,5 : décimal · √9 = 3 : entier · √2 : réel (≈ 1,41…, ne s'arrête pas) · π : réel (≈ 3,14…).
Les intervalles
À retenir. Pour a < b : [a ; b] = tous les réels x tels que a ≤ x ≤ b (crochets fermés = bornes incluses) ; ]a ; b[ = a < x < b (bornes exclues). On note aussi ]a ; +∞[ pour x > a. Le crochet est tourné vers le nombre quand la borne est incluse.
📖 Dans le livret : fiche 2 « Intervalles ». On les retravaillera à fond au Jour 4 avec les inéquations — ici, juste une première prise en main.
B
Écrire et lire un intervalle
Un peu plus- Écris sous forme d'intervalle : « x tel que −2 ≤ x < 5 », puis « x tel que x > 3 », puis « x tel que −1 < x ≤ 4 ».
- Traduis en phrase l'intervalle ]−∞ ; 2].
- Vrai ou faux : 3 ∈ [3 ; 7[ ? 7 ∈ [3 ; 7[ ? −2 ∈ ]−2 ; 6] ?
- Donne deux nombres qui appartiennent à ]1 ; 2[.
a) [−2 ; 5[ ; ]3 ; +∞[ ; ]−1 ; 4].
b) « tous les réels inférieurs ou égaux à 2 ».
c) 3 ∈ [3 ; 7[ : vrai (3 inclus) · 7 ∈ [3 ; 7[ : faux (7 exclu) · −2 ∈ ]−2 ; 6] : faux (−2 exclu).
d) par exemple 1,5 et 1,9 (tout nombre strictement entre 1 et 2).
b) « tous les réels inférieurs ou égaux à 2 ».
c) 3 ∈ [3 ; 7[ : vrai (3 inclus) · 7 ∈ [3 ; 7[ : faux (7 exclu) · −2 ∈ ]−2 ; 6] : faux (−2 exclu).
d) par exemple 1,5 et 1,9 (tout nombre strictement entre 1 et 2).
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Fiches de cours & révision
à consulter / réviserLa fiche de cours complète du jour, et des fiches de révision (collège) pour reprendre les bases avant chaque partie.
Fiche de cours — Jour 2
Le cours complet : puissances, racines carrées, la preuve √(a×b)=√a×√b, et l'encadrement — avec corrigés dépliables.
Ouvrir la fichePuissances (exposant entier)
Reprendre les bases : aⁿ, exposants, premières règles.
OuvrirPuissances — s'entraîner
D'autres exercices sur les puissances à exposant entier.
OuvrirNotation scientifique
Écrire un nombre sous la forme a × 10ⁿ.
OuvrirRacine carrée — découverte
La racine carrée et ses premières propriétés.
OuvrirRacine carrée — s'entraîner
Des exercices pour manipuler les racines carrées.
Ouvrir⏫
Les puissances — l'essentiel
tout douxCe qu'est une puissance. aⁿ = a × a × … × a : on multiplie a par lui-même n fois.
Ex. : 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 · 5² = 5 × 5 = 25. On lit « 2 exposant 3 », « 5 au carré ». On a aussi a¹ = a et a⁰ = 1.
Ex. : 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 · 5² = 5 × 5 = 25. On lit « 2 exposant 3 », « 5 au carré ». On a aussi a¹ = a et a⁰ = 1.
1
Je calcule de petites puissances
BaseDonne la valeur de : 2² ; 3² ; 4² ; 5² ; 2³ ; 10² ; 10³.
2² = 4 · 3² = 9 · 4² = 16 · 5² = 25 · 2³ = 8 · 10² = 100 · 10³ = 1 000.
Les puissances de 10. 10ⁿ = 1 suivi de n zéros. 10² = 100 · 10³ = 1 000 · 10⁴ = 10 000. Et pour les petits nombres : 10−1 = 0,1 · 10−2 = 0,01 (on décale la virgule).
2
Puissances de 10
BaseComplète : 10⁴ = … ; 10⁵ = … ; 1 000 = 10… ; 1 000 000 = 10….
10⁴ = 10 000 · 10⁵ = 100 000 · 1 000 = 10³ · 1 000 000 = 10⁶.
La notation scientifique (très pratique en physique). On écrit le nombre sous la forme a × 10ⁿ avec un seul chiffre non nul avant la virgule (1 ≤ a < 10).
Ex. : 45 000 = 4,5 × 10⁴ (la virgule se décale de 4 rangs).
Ex. : 45 000 = 4,5 × 10⁴ (la virgule se décale de 4 rangs).
3
Notation scientifique
BaseÉcris en notation scientifique : 3 000 ; 52 000 ; 800 000.
3 000 = 3 × 10³ · 52 000 = 5,2 × 10⁴ · 800 000 = 8 × 10⁵.
💡 Pour aller plus loin (facultatif) : avec la même base, on additionne les exposants — par exemple 10³ × 10² = 10⁵.
√
Les racines carrées
cours · preuve · exercicesDéfinition. Pour a ≥ 0, √a est le nombre positif dont le carré vaut a. Ainsi (√a)² = a et, pour a ≥ 0, √(a²) = a.
Ex. : √0 = 0, √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √100 = 10 ; (√7)² = 7.
Ex. : √0 = 0, √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √100 = 10 ; (√7)² = 7.
Propriété du produit. Pour a ≥ 0 et b ≥ 0 : √(a × b) = √a × √b. ⚠️ En revanche, √(a + b) ≠ √a + √b en général.
J'observe puis je démontre
Vérifions sur un exemple : √4 × √9 = 2 × 3 = 6, et √(4 × 9) = √36 = 6. Ça marche… mais est-ce prouvé pour tous les nombres positifs ? Non — un exemple ne prouve rien. Démontrons-le.
Démonstration — √(a × b) = √a × √b (pour a ≥ 0 et b ≥ 0)
- √a et √b sont positifs, donc leur produit √a × √b est positif.
- Calculons son carré : (√a × √b)² = (√a)² × (√b)² = a × b.
- Ainsi √a × √b est le nombre positif dont le carré vaut a × b : par définition, c'est √(a × b). ∎
Simplifier une racine
Méthode. On repère le plus grand carré parfait qui divise le nombre, puis on le « sort » de la racine.
Ex. : √12 = √(4 × 3) = √4 × √3 = 2√3.
Ex. : √12 = √(4 × 3) = √4 × √3 = 2√3.
4
Simplifier
Un peu plusÉcris sous la forme la plus simple : √8 ; √18 ; √50 ; √75 ; √200.
√8 = √(4×2) = 2√2 · √18 = √(9×2) = 3√2 · √50 = √(25×2) = 5√2 · √75 = √(25×3) = 5√3 · √200 = √(100×2) = 10√2.
📖 Dans le livret : fiche 7 « Racine carrée » — fais les exercices 1, 2 et 3 pour t'entraîner sur les mêmes propriétés.
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Encadrer une racine carrée
à la mainIdée. Si n² ≤ x < (n+1)², alors n ≤ √x < n+1. On encadre d'abord entre deux entiers, puis on affine au dixième, au centième…
Exemple — encadrer √11.
• Entre deux entiers : 3² = 9 et 4² = 16, donc 9 ≤ 11 < 16 : 3 < √11 < 4.
• Au dixième : 3,3² = 10,89 et 3,4² = 11,56, donc 3,3 < √11 < 3,4.
5
À toi d'encadrer
Un peu plusEncadre entre deux entiers consécutifs, puis au dixième : √7 ; √30 ; √50.
√7 : 2² = 4, 3² = 9 → 2 < √7 < 3 ; 2,6² = 6,76, 2,7² = 7,29 → 2,6 < √7 < 2,7.
√30 : 5² = 25, 6² = 36 → 5 < √30 < 6 ; 5,4² = 29,16, 5,5² = 30,25 → 5,4 < √30 < 5,5.
√50 : 7² = 49, 8² = 64 → 7 < √50 < 8 ; 7,0² = 49, 7,1² = 50,41 → 7,0 < √50 < 7,1.
√30 : 5² = 25, 6² = 36 → 5 < √30 < 6 ; 5,4² = 29,16, 5,5² = 30,25 → 5,4 < √30 < 5,5.
√50 : 7² = 49, 8² = 64 → 7 < √50 < 8 ; 7,0² = 49, 7,1² = 50,41 → 7,0 < √50 < 7,1.
💻
Salle info — encadrer √2 en Python
40 minOn prolonge à la machine : un programme qui encadre √2 aussi précisément qu'on veut, par balayage (on avance petit à petit sans jamais dépasser). C'est la même idée qu'à la main, en beaucoup plus rapide.
# Encadrer racine(2) par balayage — sans utiliser sqrt def encadrer(x, n): p = 10 ** n a = 0 while a * a <= x * p * p: a = a + 1 a = a - 1 # plus grand a avec a² ≤ x·p² return a / p, (a + 1) / p for n in range(0, 5): bas, haut = encadrer(2, n) print(bas, "<= racine(2) <", haut)
🖥️ Sortie attendue : 1.0 ≤ √2 < 2.0, puis 1.4 < √2 < 1.5, puis 1.41…, 1.414…, 1.4142… — on gagne une décimale à chaque tour. Fiche pas-à-pas pour taper le programme : « Je tape mon programme (√2) » (PDF ci-dessous).
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Ce que je retiens
- Puissances : a⁰ = 1, a−n = 1/aⁿ ; notation scientifique a × 10ⁿ (1 ≤ a < 10).
- Racines : (√a)² = a et √(a×b) = √a × √b (démontré !) ; on simplifie en sortant un carré parfait (√12 = 2√3).
- Encadrer : si n² ≤ x < (n+1)² alors n < √x < n+1 ; on affine au dixième, au centième…
➡️ Plus tard dans le stage : les intervalles reviennent avec les inéquations (Jour 4), et on ouvrira le calcul littéral (développer, factoriser, identités remarquables).
📎 Fiches à imprimer & distribuer
L'essentiel (à trous)
La synthèse du jour à compléter — 1 page recto (corrigé prof en page 2).
Ouvrir le PDFFiche d'exercices
Puissances, racines & encadrement, mis en page pour être distribués (+ corrigé prof).
Ouvrir le PDFJe tape mon programme (√2)
Guide pas à pas pour saisir l'encadrement de √2 dans Thonny / Capytale.
Ouvrir le PDF📖 Pour la consolidation (fiches 8-9-10) et l'initiation (fiches 1-2), on utilise directement le Livret Sésamath 2de des élèves.