Fiche méthode Nombres et calculs Classe de 3ᵉ

Notation scientifique d'un nombre

OBJECTIF Écrire un nombre positif en notation scientifique : sous la forme a × 10n, avec 1 ⩽ a < 10. Passer de l'écriture décimale à la notation scientifique, et inversement.
OA 3e-puissances-03 · notation scientifique d'un nombre
Ce que tu sais déjà. Pour n entier naturel non nul, 10n est un 1 suivi de n zéros et 10−n = 1/10n : son écriture décimale comporte n zéros avant le chiffre 1, en comptant le zéro de la partie entière.
Multiplier par une puissance de 10 change la position de chaque chiffre dans l'écriture du nombre ; sa valeur change donc. La virgule sépare toujours la partie entière de la partie décimale : elle ne « se déplace » pas.
a

Qu'est-ce que la notation scientifique ?

DÉFINITION La notation scientifique d'un nombre décimal positif non nul est son écriture sous la forme :
a × 10n
  • a est la mantisse : c'est un nombre décimal tel que 1 ⩽ a < 10 ;
  • n est l'exposant : c'est un entier relatif, positif, nul ou négatif.
a : la mantisseElle contient les chiffres significatifs ; leur nombre renseigne sur la précision.
10 : la baseLa notation scientifique utilise la base 10.
n : l'exposantIl permet de déterminer rapidement l'ordre de grandeur.

✅ Notations correctes

  • 3,6 × 108
  • 4,7 × 10−2
  • 1,12 × 104

❌ Ne sont pas des notations scientifiques

  • 35 × 103 (a ⩾ 10)
  • 0,25 × 104 (a < 1)
  • 4,51 (il manque la puissance de 10)
La mantisse a vérifie toujours 1 ⩽ a < 10.
Sa partie entière est donc constituée d'un seul chiffre, compris entre 1 et 9.
💡 Pour être rigoureux, 108 doit s'écrire 1 × 108 en notation scientifique : la mantisse est 1.
La méthode est présentée pour les nombres positifs. Pour un nombre négatif, il suffit d'ajouter le signe − à la mantisse : −3 200 = −3,2 × 103.
b

De l'écriture décimale à l'écriture scientifique

MÉTHODE — pas à pas
  1. Écrire la mantisse a avec les chiffres significatifs du nombre et un seul chiffre dans sa partie entière : 1 ⩽ a < 10.
  2. Déterminer l'exposant n : ✓ Nombre supérieur ou égal à 1 : n est égal au nombre de chiffres de la partie entière moins 1. ✓ Nombre inférieur à 1 : n est l'opposé du nombre de zéros avant le premier chiffre non nul, en comptant le zéro de la partie entière.
🔎 Dans les applications scientifiques et techniques, la mantisse est souvent arrondie à trois chiffres significatifs. Pour une conversion exacte, on conserve tous les chiffres du nombre.

Exemple 1 — un grand nombre : 458 000 000

458 000 000  =  4,58 × 1089 chiffres dans la partie entière : 9 − 1 = 8 → exposant +8
⚠️ Une analogie trompeuse avec les puissances de 10. Pour 100 000 000 = 108, l'exposant est bien égal au nombre de zéros — et c'est encore vrai pour un seul chiffre non nul suivi de zéros (4 × 108 = 400 000 000). Mais 458 000 000 contient plusieurs chiffres non nuls : compter ses 6 zéros donnerait 106, ce qui est faux. La règle qui fonctionne toujours : nombre de chiffres de la partie entière − 1 → 9 − 1 = 8.

Exemple 2 — un petit nombre : 0,000 085

0,000 085  =  8,5 × 10−55 zéros avant le premier chiffre non nul, en comptant celui de la partie entière → exposant −5
💡 Le même principe que pour les puissances négatives de 10. On sait que 10−5 = 0,00001. Dans 0,000 085, le premier chiffre non nul, le 8, occupe la même position que le 1 dans 0,00001 : le rang des cent-millièmes. Donc 0,000 085 = 8,5 × 10−5. Pour retrouver l'exposant, on compte les zéros depuis celui des unités jusqu'au premier chiffre non nul : 5 zéros → exposant −5.
À retenir : la mantisse contient les chiffres significatifs et renseigne sur la précision ; l'exposant permet d'identifier rapidement l'ordre de grandeur.
c

Passer d'une écriture à l'autre

De l'écriture décimale à l'écriture scientifique

• 721,3 = 7,213 × 102  (3 chiffres dans la partie entière : 3 − 1 = 2)
• 0,085 = 8,5 × 10−2  (2 zéros avant le premier chiffre non nul)
• 39 810 000 000 = 3,981 × 1010
• 0,000 085 = 8,5 × 10−5

De l'écriture scientifique à l'écriture décimale

✓ Exposant positif ou nul : la partie entière comporte n + 1 chiffres.
✓ Exposant négatif : le nombre de zéros avant le premier chiffre non nul est l'opposé de l'exposant, en comptant le zéro de la partie entière.
• 6,2 × 104 = 62 000  (la partie entière comporte 4 + 1 = 5 chiffres)
• 3,7 × 10−3 = 0,0037  (3 zéros avant le chiffre 3)
⚠️ Erreurs à éviter : laisser a ⩾ 10 (ex. 35 × 103) ou a < 1 (ex. 0,25 × 104) — il faut modifier la mantisse et l'exposant pour revenir à 1 ⩽ a < 10.
✅ Comment corriger ? On compense entre les deux facteurs, sans changer le produit.
• 35 × 103 : pour passer de 35 à 3,5 on divise par 10, donc on multiplie la puissance par 10 → 3,5 × 104.
• 0,25 × 104 : pour passer de 0,25 à 2,5 on multiplie par 10, donc on divise la puissance par 10 → 2,5 × 103.
Multiplier un facteur par 10 et diviser l'autre par 10 ne change pas le produit. On s'arrête dès que 1 ⩽ a < 10.

L'essentiel

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