Fiche méthode Racine carrée Classe de 4ᵉ

La racine carrée : définition et encadrement

OBJECTIF 1 Comprendre et connaître la définition de la racine carrée d'un nombre positif.
OBJECTIF 2 Encadrer la racine carrée d'un entier par deux nombres entiers consécutifs.
Ce que tu sais déjà. Les carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, …, 144) et l'aire d'un carré : aire = c × c = c². La racine carrée répond à la question réciproque : connaissant l'aire d'un carré, quelle est la longueur de son côté ?
a

Du carré à son côté

L'aire d'un carré est le produit du côté par lui-même. Connaissant l'aire, on cherche le côté.

aire 81 cm² côté c = ? c
c × c = c² = 81 cm²  ⇒  c = 9 cm
On cherche le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne l'aire.
b

La définition de la racine carrée

DÉFINITION (admise) Pour tout nombre a positif ou nul, il existe un unique nombre positif ou nul dont le carré est a. On l'appelle racine carrée de a et on le note √a.
(√a)² = a  (pour a ≥ 0)
9 × 9 = 9² = 81  ⇒  √81 = 9
11 × 11 = 11² = 121  ⇒  √121 = 11
Astuce : quand a est un carré parfait, sa racine est immédiate. Les carrés parfaits à connaître :
n0123456789101112
n²0149162536496481100121144
√0 = 0  ·  √1 = 1  ·  √9 = 3  ·  √144 = 12
c

Encadrer une racine carrée

Quand a n'est pas un carré parfait, sa racine tombe entre deux entiers consécutifs. On cherche les deux carrés parfaits qui encadrent a.

4² = 16 < 20 < 25 = 5²  ⇒  4 < √20 < 5
4 4² = 16 5 5² = 25 √20 ≈ 4,47
MÉTHODE
  • Trouver l'entier juste en dessous : le plus grand entier dont le carré est ≤ a.
  • L'entier suivant donne la borne du dessus.
  • La calculatrice donne ensuite une valeur approchée.
7² = 49 < 50 < 64 = 8²  ⇒  7 < √50 < 8 (√50 ≈ 7,07)
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La méthode, étape par étape

  1. Carré parfait ? Si oui, la racine est immédiate (√81 = 9 car 9² = 81).
  2. Sinon, encadrer : trouver les deux carrés parfaits qui entourent le nombre.
  3. En déduire l'encadrement de la racine par deux entiers consécutifs.
  4. Utiliser la calculatrice pour une valeur approchée, si elle est demandée.
  5. Vérifier en élevant les deux bornes au carré — par exemple 4² < 20 < 5².

L'essentiel