Fiche méthode Nombres et calculs Classe de 3ᵉ

Puissances d'exposant entier

OBJECTIF Définir les puissances d'exposant négatif d'un nombre (a−n = 1/an), et savoir multiplier et diviser des puissances. Les puissances de 10 sont le cas le plus utile : les écrire en écriture décimale, et inversement.
OA 3e-puissances-01 · puissances d'exposant négatif OA 3e-puissances-02 · multiplier et diviser des puissances
Ce que tu sais déjà. Une puissance, c'est un produit de facteurs égaux : 104 = 10 × 10 × 10 × 10. Ici, on étend aux exposants négatifs et on apprend à calculer avec les puissances de 10.
a

Puissance d'exposant entier positif

DÉFINITION Pour un entier n ⩾ 1, an est le produit de n facteurs égaux à a.
an = a × a × … × a  (n facteurs)

Cas des puissances de 10 : 10n est le nombre formé d'un 1 suivi de n zéros.

103 = 10 × 10 × 10 = 1 000   ·   106 = 1 000 000   ·   25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
⚠️ L'exposant compte les facteurs, pas les zéros au hasard : pour 105, il y a 5 zéros (100 000), pas 4.
b

Exposant nul et exposant négatif

À RETENIR
  • Exposant nul : par convention, a0 = 1 (avec a ≠ 0).
  • Exposant négatif : a−n est l'inverse de an.
a−n = 1an  (a ≠ 0)

Exemples : 2−3 = 123 = 18  ·  (−3)−2 = 1(−3)2 = 19  ·  10−3 = 1103 = 0,001.

Cas des puissances de 10 (le plus utile pour la notation scientifique)

10−n = 110n est un nombre décimal avec un 1 au n-ième rang après la virgule. On le lit dans le tableau :

Puissance10310210110010−110−210−3
Valeur1 0001001010,10,010,001
💡 D'une colonne à la suivante vers la droite, l'exposant diminue de 1 et le nombre est divisé par 10. C'est ce qui donne du sens à 100 = 1 puis aux exposants négatifs.
⚠️ Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : 10−2 = 0,01, un nombre positif (juste très petit).
c

Multiplier et diviser des puissances

LES DEUX RÈGLES Pour un nombre a ≠ 0 et des entiers relatifs m et n :
am × an = am+n  (on additionne les exposants)
aman = am−n  (on soustrait les exposants)

On s'en sert surtout avec les puissances de 10, mais la règle vaut pour toute base :

• 25 × 2−2 = 25+(−2) = 23 = 8
• 105 × 10−2 = 105+(−2) = 103 = 1 000
• 107103 = 107−3 = 104 = 10 000
• 10310−2 = 103−(−2) = 103+2 = 105
⚠️ Piège fréquent : diviser par 10−n revient à soustraire un nombre négatif, donc à ajouter : m − (−n) = m + n. On ne « descend » pas le signe n'importe comment.
Multiplier → on additionne les exposants. Diviser → on soustrait les exposants. (Attention aux signes des exposants.)
d

Méthode & vérification

MÉTHODE — pas à pas
  1. Écriture décimale ↔ puissance : exposant positif = nombre de zéros après le 1 ; exposant négatif = rang du 1 après la virgule.
  2. Produit de puissances de même base : additionner les exposants.
  3. Quotient de puissances de même base : soustraire les exposants (attention au signe).
  4. Vérifier avec les valeurs décimales quand c'est possible.
✅ Vérification. 105 × 10−2 : on peut aussi écrire 100 000 × 0,01 = 1 000 = 103. La règle et le calcul décimal donnent le même résultat.

L'essentiel