On range les nombres dans des ensembles emboîtés :
\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}. \]Emboîtement : chaque ensemble contient le précédent — tout entier est un décimal, tout décimal est un rationnel, tout rationnel est un réel.
Donne le plus petit ensemble contenant chaque nombre :
$-3$ ; $0{,}5$ ; $\dfrac{1}{3}$ ; $\sqrt{9}$ ; $\sqrt{2}$ ; $\pi$.
$-3 \in \mathbb{Z}$ ; $0{,}5 = \dfrac{1}{2} \in \mathbb{D}$ ; $\dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q}$ (pas décimal) ; $\sqrt{9}=3 \in \mathbb{N}$ ; $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ ; $\pi \in \mathbb{R}$.
Un intervalle regroupe tous les réels compris entre deux bornes. Pour $a < b$ :
Règle : le crochet est « tourné vers le nombre » quand la borne est incluse ; devant $+\infty$ ou $-\infty$, le crochet est toujours ouvert.
1. Écris sous forme d'intervalle : « $-2 \le x < 5$ » ; « $x > 3$ » ; « $-1 < x \le 4$ ».
2. Vrai ou faux : $3 \in [3\,;7[$ ? $7 \in [3\,;7[$ ? $-2 \in\ ]-2\,;6]$ ?
1. $[-2\,;5[$ ; $]3\,;+\infty[$ ; $]-1\,;4]$.
2. $3 \in [3\,;7[$ : vrai ($3$ inclus) ; $7 \in [3\,;7[$ : faux ($7$ exclu) ; $-2 \in\ ]-2\,;6]$ : faux ($-2$ exclu).
Les intervalles reviendront au Jour 4 : ce sont eux qui servent à écrire l'ensemble des solutions d'une inéquation.
Pour un entier $n \ge 1$, la puissance $a^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ :
\[ a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}. \]On lit « $a$ exposant $n$ ». On pose aussi $a^1 = a$ et $a^0 = 1$.
Exemples : $2^3 = 2\times 2\times 2 = 8$ ; $5^2 = 5\times 5 = 25$ ; $10^1 = 10$.
1. Calcule $2^2$, $3^2$, $4^2$, $5^2$.
2. Calcule $2^3$, $10^2$, $10^3$.
1. $2^2 = 4$ ; $3^2 = 9$ ; $4^2 = 16$ ; $5^2 = 25$.
2. $2^3 = 8$ ; $10^2 = 100$ ; $10^3 = 1\,000$.
$10^n$ est égal à 1 suivi de $n$ zéros :
\[ 10^2 = 100, \qquad 10^3 = 1\,000, \qquad 10^4 = 10\,000. \]Pour les petits nombres, on utilise des exposants négatifs : $10^{-1} = 0{,}1$ et $10^{-2} = 0{,}01$ (on décale la virgule).
Un nombre est écrit en notation scientifique lorsqu'il est de la forme
\[ a \times 10^{n} \qquad \text{avec } 1 \le a < 10 \ \text{(un seul chiffre non nul avant la virgule).} \]Exemple : $45\,000 = 4{,}5 \times 10^{4}$. C'est très utile en physique pour les très grands ou très petits nombres.
1. Écris $10^4$ et $10^5$ en toutes lettres (chiffres).
2. Complète : $1\,000 = 10^{\ldots}$ et $1\,000\,000 = 10^{\ldots}$.
3. Écris en notation scientifique : $3\,000$ ; $52\,000$ ; $800\,000$.
1. $10^4 = 10\,000$ ; $10^5 = 100\,000$.
2. $1\,000 = 10^{3}$ ; $1\,000\,000 = 10^{6}$.
3. $3\,000 = 3\times 10^{3}$ ; $52\,000 = 5{,}2\times 10^{4}$ ; $800\,000 = 8\times 10^{5}$.
Avec une même base, on additionne les exposants : $10^3 \times 10^2 = 10^{5}$. De même $2^4 \times 2 = 2^{5}$.
Pour un nombre $a \ge 0$, la racine carrée $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$. Autrement dit :
\[ \left(\sqrt{a}\right)^2 = a \qquad \text{et, pour } a \ge 0, \quad \sqrt{a^2} = a. \]Exemples : $\sqrt{0}=0$, $\sqrt{1}=1$, $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{100}=10$ ; $\left(\sqrt{7}\right)^2 = 7$.
Pour $a \ge 0$ et $b \ge 0$ :
\[ \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}. \]Attention : en général $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (par exemple $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$, alors que $\sqrt{9}+\sqrt{16} = 3+4 = 7$).
① $\sqrt{a}$ et $\sqrt{b}$ sont positifs, donc leur produit $\sqrt{a}\times\sqrt{b}$ est positif.
② On calcule son carré :
\[ \left(\sqrt{a}\times\sqrt{b}\right)^2 = \left(\sqrt{a}\right)^2 \times \left(\sqrt{b}\right)^2 = a \times b. \]③ Ainsi $\sqrt{a}\times\sqrt{b}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a\times b$ : c'est, par définition, $\sqrt{a\times b}$. $\blacksquare$
On repère le plus grand carré parfait ($4, 9, 16, 25, 36, \ldots$) qui divise le nombre, puis on le « sort » de la racine grâce à la propriété du produit :
\[ \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4}\times\sqrt{3} = 2\sqrt{3}. \]Écris sous la forme la plus simple :
$\sqrt{8}$ ; $\sqrt{18}$ ; $\sqrt{50}$ ; $\sqrt{75}$ ; $\sqrt{200}$.
$\sqrt{8} = \sqrt{4\times 2} = 2\sqrt{2}$ ; $\sqrt{18} = \sqrt{9\times 2} = 3\sqrt{2}$ ; $\sqrt{50} = \sqrt{25\times 2} = 5\sqrt{2}$.
$\sqrt{75} = \sqrt{25\times 3} = 5\sqrt{3}$ ; $\sqrt{200} = \sqrt{100\times 2} = 10\sqrt{2}$.
Si $n^2 \le x < (n+1)^2$, alors $n \le \sqrt{x} < n+1$. On encadre d'abord entre deux entiers, puis on affine au dixième, au centième…
Entre deux entiers : $3^2 = 9$ et $4^2 = 16$, donc $9 \le 11 < 16$ :
\[ 3 < \sqrt{11} < 4. \]Au dixième : $3{,}3^2 = 10{,}89$ et $3{,}4^2 = 11{,}56$, donc :
\[ 3{,}3 < \sqrt{11} < 3{,}4. \]Encadre entre deux entiers consécutifs, puis au dixième :
$\sqrt{7}$ ; $\sqrt{30}$ ; $\sqrt{50}$.
$\sqrt{7}$ : $2^2=4$, $3^2=9$ $\Rightarrow$ $2 < \sqrt{7} < 3$ ; puis $2{,}6^2=6{,}76$, $2{,}7^2=7{,}29$ $\Rightarrow$ $2{,}6 < \sqrt{7} < 2{,}7$.
$\sqrt{30}$ : $5^2=25$, $6^2=36$ $\Rightarrow$ $5 < \sqrt{30} < 6$ ; puis $5{,}4^2=29{,}16$, $5{,}5^2=30{,}25$ $\Rightarrow$ $5{,}4 < \sqrt{30} < 5{,}5$.
$\sqrt{50}$ : $7^2=49$, $8^2=64$ $\Rightarrow$ $7 < \sqrt{50} < 8$ ; puis $7{,}0^2=49$, $7{,}1^2=50{,}41$ $\Rightarrow$ $7{,}0 < \sqrt{50} < 7{,}1$.