Test de positionnement
Fiches d'automatismes pré-seconde : 10 questions, correction et score. Choisis une série pour faire le point.
Ouvrir le test- Se situer avec un test de positionnement d'automatismes.
- Consolider le calcul avec les racines carrées : √a, simplifier, encadrer.
- Découvrir la notion de fonction (image, antécédent, notation f(x)).
- Étudier la fonction carré (x ↦ x²) et la fonction racine carrée (x ↦ √x).
- Rédiger une démonstration : le carré d'un nombre impair est impair.
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Pour commencer — test de positionnement
30 minUn point d'étape sur les automatismes, pour repérer ce qui est acquis et ce qui reste à travailler. En autonomie, corrigé intégré.
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Racines carrées — reprise rapide
calculL'essentiel. Pour a ≥ 0, √a est le nombre positif dont le carré vaut a : (√a)² = a. Propriété : √(a×b) = √a × √b. ⚠️ √(a+b) ≠ √a + √b.
Ex. : √4 = 2, √9 = 3, √100 = 10 ; √12 = √(4×3) = 2√3.
Ex. : √4 = 2, √9 = 3, √100 = 10 ; √12 = √(4×3) = 2√3.
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Calculer & simplifier
Basea. √16 ; √49 ; (√5)². b. Simplifie √8 ; √50 ; √75.
a) √16 = 4 ; √49 = 7 ; (√5)² = 5. b) √8 = 2√2 ; √50 = 5√2 ; √75 = 5√3.
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Encadrer une racine
Un peu plusEncadre √30 entre deux entiers consécutifs, puis au dixième.
5² = 25 et 6² = 36 → 5 < √30 < 6 ; puis 5,4² = 29,16 et 5,5² = 30,25 → 5,4 < √30 < 5,5.
📖 Pour réviser : fiche Racine carrée du livret (fiche 7) et les fiches 4ᵉ (en bas de page).
Pythagore avec des racines
Trouve le côté manquant d'un triangle rectangle et donne la réponse sous forme de racine simplifiée (ex. √32 = 4√2). Exercice interactif, niveau 2. (en anglais — « surd » = racine non simplifiée)
Ouvrir l'exercice📈
La notion de fonction
nouveauDéfinition. Une fonction f associe à chaque nombre x un seul nombre, noté f(x).
- f(x) est l'image de x par f.
- si f(x) = y, alors x est un antécédent de y.
Trois façons de « voir » une fonction : par une formule (f(x) = x² + 1), par une table de valeurs, par une courbe (sa représentation graphique).
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Image & antécédent
BaseOn pose f(x) = x² + 1. a. Calcule f(3) et f(0). b. Quelle est l'image de −2 ?
a) f(3) = 3² + 1 = 10 ; f(0) = 0 + 1 = 1. b) f(−2) = (−2)² + 1 = 5 : l'image de −2 est 5.
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La fonction carré
x ↦ x²Définition. La fonction carré est la fonction f définie pour tout réel x par f(x) = x².
Table de valeurs
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Les carrés sont toujours positifs, et deux nombres opposés ont le même carré (ex. (−3)² = 3² = 9).
Sa courbe : une parabole
Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, avec un minimum en 0.
Sens de variation : la fonction carré décroît sur ]−∞ ; 0] puis croît sur [0 ; +∞[. Elle atteint son minimum, 0, en x = 0.
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Lire la fonction carré
Un peu plusa. Quelle est l'image de −4 ? b. Quels nombres ont pour image 25 ? c. Range dans l'ordre croissant : 2², (−3)², 1².
a) (−4)² = 16. b) 5 et −5 (car 5² = (−5)² = 25). c) 1² = 1 < 2² = 4 < (−3)² = 9.
√x
La fonction racine carrée
x ↦ √xDéfinition. La fonction racine carrée est la fonction g définie par g(x) = √x, seulement pour x ≥ 0 (on ne peut pas prendre la racine d'un nombre négatif). Son ensemble de définition est [0 ; +∞[.
Table de valeurs
| x | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
| √x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
On choisit des carrés parfaits pour x, pour que √x « tombe juste ».
Sa courbe
Elle part de l'origine et monte de plus en plus doucement.
Sens de variation : la fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +∞[. Elle est en quelque sorte « l'inverse » de la fonction carré pour les nombres positifs.
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Lire la fonction racine carrée
Basea. Calcule g(36) et g(0). b. Peut-on calculer g(−4) ? Pourquoi ? c. Quel nombre a pour image 5 par g ?
a) g(36) = √36 = 6 ; g(0) = 0. b) Non : √(−4) n'existe pas (on ne prend pas la racine d'un négatif). c) 25, car √25 = 5.
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Un peu de raisonnement — démonstration
le carré d'un impairOn profite d'avoir travaillé sur les carrés pour rédiger une petite démonstration.
J'observe et je conjecture
Le carré de quelques nombres impairs : • 3² = 9 • 5² = 25 • 7² = 49 • 9² = 81 → tous impairs.
Conjecture : le carré d'un nombre impair est impair. Est-ce prouvé ? Non — quelques exemples ne prouvent pas pour tous les impairs. On démontre.
Démonstration — le carré d'un nombre impair est impair
- Soit n un nombre impair : il existe un entier k tel que n = 2k + 1.
- On calcule : n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1.
- On factorise par 2 : n² = 2(2k² + 2k) + 1.
- 2k² + 2k est un entier, donc n² est de la forme 2K + 1 : n² est impair. ∎
💡 Le schéma d'une démonstration : je teste → je conjecture → est-ce prouvé ? → je démontre. L'écriture 2k + 1 permet de raisonner sur tous les impairs à la fois.
💻
Salle info — Python : table & tracé de courbe
40 min1) D'abord la table de valeurs des deux fonctions (x de 0 à 10) :
from math import sqrt # Fonction carré : f(x) = x² print("x | f(x) = x²") for x in range(0, 11): print(x, "|", x * x) # Fonction racine carrée : g(x) = √x print("x | g(x) = racine(x)") for x in range(0, 11): print(x, "|", round(sqrt(x), 2))
🖥️ Sortie : pour la fonction carré, 0, 1, 4, 9, …, 100 ; pour la racine, 0, 1, 1.41, 1.73, 2, …, 3.16 — exactement les tables du cours.
2) Puis on trace la courbe avec la bibliothèque matplotlib : on calcule beaucoup de points (pas de 0,1) pour une courbe bien lisse.
import matplotlib.pyplot as plt # Fonction carré : on calcule les points X = [] Y = [] x = -5 while x <= 5: X.append(x) Y.append(x * x) x = x + 0.1 plt.plot(X, Y, color="orange") plt.title("Fonction carré : f(x) = x²") plt.grid(True) plt.show()
🖥️ Le programme complet (fourni) trace les deux courbes : la parabole de la fonction carré, et la courbe croissante de la fonction racine carrée. Aperçu ci-dessus.
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Un premier pas vers le calcul littéral
en fin de journéePour préparer le Jour 4 (développer, factoriser, identités remarquables), on s'échauffe avec un jeu contre la montre sur les identités remarquables.
Les identités remarquables (à connaître par cœur) : (a + b)² = a² + 2ab + b² · (a − b)² = a² − 2ab + b² · (a + b)(a − b) = a² − b².
Beat the Clock — Identités
Reconnaître et appliquer les identités remarquables contre la montre. Commence par les niveaux 1, 2 et 3.
Ouvrir le jeu➡️ Le gros du calcul littéral (développer, factoriser, + Beat the Clock CL niveaux 5-8) sera travaillé au Jour 4.
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Ce que je retiens
- Racines : (√a)² = a, √(a×b) = √a × √b ; on simplifie en sortant un carré parfait.
- Fonction : f associe à x un seul nombre f(x) (son image) ; on la « voit » par une formule, une table ou une courbe.
- Fonction carré (x ↦ x²) : courbe = parabole, minimum en 0, deux opposés ont le même carré.
- Fonction racine carrée (x ↦ √x) : définie sur [0 ; +∞[, croissante.
- Démonstration : un impair s'écrit 2k + 1 ; le carré d'un impair est impair (prouvé pour tous).
➡️ Jour 4 : le calcul littéral — développer, factoriser et les identités remarquables (avec Beat the Clock).
📚 Fiches de révision (collège)
Racine carrée — découverte
La racine carrée et ses premières propriétés.
OuvrirRacine carrée — s'entraîner
Des exercices pour manipuler les racines carrées.
OuvrirFiche de cours — Jour 3
Racines, notion de fonction, fonction carré et fonction racine carrée — avec corrigés dépliables.
Ouvrir la fiche