Pour $a \ge 0$, $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ : $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$.
Produit : pour $a \ge 0$ et $b \ge 0$, $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$. (mais $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a}+\sqrt{b}$)
Simplifier : on sort un carré parfait : $\sqrt{12} = \sqrt{4\times 3} = 2\sqrt{3}$.
Encadrer : si $n^2 \le x < (n+1)^2$ alors $n < \sqrt{x} < n+1$.
1. Calcule $\sqrt{16}$, $\sqrt{49}$, $\left(\sqrt{5}\right)^2$.
2. Simplifie $\sqrt{8}$, $\sqrt{50}$, $\sqrt{75}$.
3. Encadre $\sqrt{30}$ entre deux entiers, puis au dixième.
1. $\sqrt{16}=4$ ; $\sqrt{49}=7$ ; $\left(\sqrt{5}\right)^2 = 5$.
2. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ ; $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ ; $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$.
3. $5<\sqrt{30}<6$ puis $5{,}4<\sqrt{30}<5{,}5$.
Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ un seul nombre, noté $f(x)$.
On peut « voir » une fonction de trois façons : par une formule, une table de valeurs, ou une courbe.
On pose $f(x) = x^2 + 1$.
1. Calcule $f(3)$ et $f(0)$.
2. Quelle est l'image de $-2$ ?
1. $f(3)=3^2+1=10$ ; $f(0)=0+1=1$.
2. $f(-2)=(-2)^2+1=5$ : l'image de $-2$ est $5$.
La fonction carré est la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x) = x^2$.
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| $x^2$ | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
La fonction carré décroît sur $]-\infty\,;0]$ puis croît sur $[0\,;+\infty[$. Elle a un minimum égal à $0$, atteint en $x=0$. Deux nombres opposés ont le même carré.
1. Quelle est l'image de $-4$ par la fonction carré ?
2. Quels nombres ont pour image $25$ ?
3. Range dans l'ordre croissant : $2^2$, $(-3)^2$, $1^2$.
1. $(-4)^2 = 16$.
2. $5$ et $-5$ (car $5^2 = (-5)^2 = 25$).
3. $1^2 = 1 < 2^2 = 4 < (-3)^2 = 9$.
La fonction racine carrée est la fonction $g$ définie par $g(x) = \sqrt{x}$, seulement pour $x \ge 0$ (on ne prend pas la racine d'un nombre négatif). Son ensemble de définition est $[0\,;+\infty[$.
| $x$ | $0$ | $1$ | $4$ | $9$ | $16$ |
| $\sqrt{x}$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
La fonction racine carrée est croissante sur $[0\,;+\infty[$. Elle part de l'origine et monte de plus en plus doucement. On choisit des carrés parfaits pour $x$ afin que $\sqrt{x}$ « tombe juste ».
1. Calcule $g(36)$ et $g(0)$.
2. Peut-on calculer $g(-4)$ ? Pourquoi ?
3. Quel nombre a pour image $5$ par $g$ ?
1. $g(36)=\sqrt{36}=6$ ; $g(0)=0$.
2. Non : $\sqrt{-4}$ n'existe pas (racine d'un négatif impossible).
3. $25$, car $\sqrt{25}=5$.
Calculons le carré de quelques nombres impairs :
\[ 3^2 = 9, \quad 5^2 = 25, \quad 7^2 = 49, \quad 9^2 = 81. \]Tous ces carrés sont impairs. Conjecture : le carré d'un nombre impair est impair. Mais quatre exemples ne prouvent rien : démontrons-le.
① Soit $n$ un nombre impair : il existe un entier $k$ tel que $n = 2k+1$.
② On calcule $n^2$, puis on factorise par $2$ :
\[ n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2\,(2k^2 + 2k) + 1. \]③ Or $2k^2 + 2k$ est un entier, donc $n^2$ est de la forme $2K + 1$ : $n^2$ est impair. $\blacksquare$
1. Démontre que la somme de deux multiples de 5 est un multiple de $5$.
2. Vrai ou faux ? « La somme de deux nombres impairs est impaire. » (justifie)
1. $m = 5k$, $n = 5k'$, d'où $m+n = 5(k+k')$ : multiple de $5$. $\blacksquare$
2. Faux. $(2k+1)+(2k'+1) = 2(k+k'+1)$ : c'est pair (contre-exemple : $3+5=8$).