Un vecteur est un « trajet » que l'on représente par une flèche. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ traduit le déplacement (la translation) qui amène le point $A$ sur le point $B$.
Il est entièrement défini par trois caractéristiques :
Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\ \Longleftrightarrow\ ABDC \text{ est un parallélogramme}$
Attention à l'ordre des lettres : dans le parallélogramme $ABDC$, les côtés $[AB]$ et $[CD]$ sont parallèles et de même longueur.
Vecteur nul : $\overrightarrow{AA}=\vec{0}$ (déplacement « sur place », longueur $0$).
Vecteurs opposés : $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$. Ils ont même direction, même longueur, mais des sens contraires.
$ABDC$ est un parallélogramme.
1. Cite un vecteur égal à $\overrightarrow{AB}$.
2. Cite un vecteur égal à $\overrightarrow{AC}$.
3. Que vaut $\overrightarrow{DC}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ ?
1. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.
2. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$.
3. $\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{AB}$ (même longueur, sens contraire).
On se place dans un repère $(O\,;I,J)$. Pour deux points $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$, les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont :
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\[2pt] y_B-y_A\end{pmatrix}$
On calcule toujours « arrivée $-$ départ » : abscisse de $B$ moins abscisse de $A$, puis ordonnée de $B$ moins ordonnée de $A$.
Si on connaît le point de départ $A(x_A\,;y_A)$ et le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$, le point d'arrivée $B$ tel que $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ s'obtient en ajoutant le vecteur au point de départ :
$B\,(\,x_A+a\ ;\ y_A+b\,)$
Exemple : $A(2\,;-1)$ et $\vec{u}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ → $B(2+3\,;-1+4)=B(5\,;3)$.
Dans un repère orthonormé, la longueur du vecteur $\overrightarrow{AB}$ (c'est-à-dire la distance $AB$) est :
$AB=\lVert\overrightarrow{AB}\rVert=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
C'est le théorème de Pythagore appliqué au repère.
Soit $A(5\,;3)$ et $B(-4\,;3)$.
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-4-5\\ 3-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-9\\ 0\end{pmatrix}$ ; $AB=\sqrt{(-9)^2+0^2}=\sqrt{81}=9$.
Dans un repère orthonormé : $A(3\,;4)$, $B(2\,;5)$, $C(-1\,;3)$.
1. Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{BC}$.
2. Calcule la longueur $AC$.
3. Place $D$ tel que $\overrightarrow{AD}=\vec{u}$ avec $\vec{u}\begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}$ : quelles sont les coordonnées de $D$ ?
1. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2-3\\ 5-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\ 1\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-1-2\\ 3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\ -2\end{pmatrix}$.
2. $AC=\sqrt{(-1-3)^2+(3-4)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}\approx 4{,}1$.
3. $D(3+5\,;4+(-2))=D(8\,;2)$.
Pour « enchaîner » deux déplacements, on utilise la relation de Chasles : quelle que soit la position des points,
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
On peut aussi construire la somme avec un parallélogramme lorsque les deux vecteurs ont la même origine.
En coordonnées, on additionne composante par composante : si $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$, alors $\vec{u}+\vec{v}\begin{pmatrix}x+x'\\ y+y'\end{pmatrix}$.
Soustraire un vecteur revient à ajouter son opposé : $\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})$.
En coordonnées : $\vec{u}-\vec{v}\begin{pmatrix}x-x'\\ y-y'\end{pmatrix}$.
Pour un réel $\lambda$, le vecteur $\lambda\vec{u}$ a la même direction que $\vec{u}$ ; même sens si $\lambda>0$, sens contraire si $\lambda<0$ ; sa longueur est $|\lambda|$ fois celle de $\vec{u}$.
En coordonnées : $\lambda\vec{u}\begin{pmatrix}\lambda x\\ \lambda y\end{pmatrix}$.
Soit $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}$.
$\vec{u}+\vec{v}\begin{pmatrix}2+(-3)\\ 3+5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\ 8\end{pmatrix}$ ; $2\vec{u}+3\vec{v}\begin{pmatrix}2(2)+3(-3)\\ 2(3)+3(5)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\ 21\end{pmatrix}$.
$\vec{u}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$, $\vec{v}\begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}$, $\vec{w}\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}$.
1. $\vec{u}+\vec{w}$ 2. $\vec{u}-\vec{v}$ 3. $5\vec{u}-2\vec{v}$
1. $\vec{u}+\vec{w}\begin{pmatrix}2+(-1)\\ 3+(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}$.
2. $\vec{u}-\vec{v}\begin{pmatrix}2-(-3)\\ 3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\ -2\end{pmatrix}$.
3. $5\vec{u}-2\vec{v}\begin{pmatrix}5(2)-2(-3)\\ 5(3)-2(5)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16\\ 5\end{pmatrix}$.
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (non nuls) sont colinéaires lorsqu'ils ont la même direction.
Propriété. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires $\Longleftrightarrow$ il existe un réel $\lambda$ tel que $\vec{u}=\lambda\vec{v}$.
Critère par les coordonnées. Si $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$, alors :
$\vec{u},\ \vec{v}\text{ colinéaires}\ \Longleftrightarrow\ x\,y'-y\,x'=0$
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles lorsque $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
Les points $A$, $B$, $C$ sont alignés lorsque $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
Soit $A(1\,;2)$, $B(3\,;5)$ et $C(7\,;11)$. Les points sont-ils alignés ?
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}6\\9\end{pmatrix}$. On calcule le déterminant : $2\times 9-3\times 6=18-18=0$.
Donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires : $A$, $B$, $C$ sont alignés. $\blacksquare$
1. $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}$ sont-ils colinéaires ?
2. $A(0\,;1)$, $B(2\,;5)$, $C(3\,;8)$ : les points $A$, $B$, $C$ sont-ils alignés ?
1. $2\times 6-3\times 4=12-12=0$ : oui, colinéaires (on a $\vec{v}=2\vec{u}$).
2. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}$ ; $2\times 7-4\times 3=14-12=2\neq 0$ : non alignés.